Toth

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La Sabiduría no es Conocimiento; sino saber aplicar correctamente el Conocimiento

NOTA DEL EDITOR

SI ESTÁN LEYENDO ESTAS PALABRAS DE BIENVENIDA SIGNIFICA QUE ENTRARON A MI BLOG. EN ÉSTE INTENTO DE REVISTA CULTURAL SE PUBLICARÁN CON FRECUENCIA UNA GRAN DIVERSIDAD DE ARTÍCULOS. NOS INTERESAN LAS OPINIONES DE LOS VIAJEROS QUE SE DETIENEN EN ESTE OASIS PARA REFRESCARSE EN LA SABIDURÍA DE SUS AGUAS.

5 de diciembre de 2011

LOS FRACTALES


1. Microcosmos y Macrocosmos:

Los fractales son objetos geométricos cuya estructura básica se repite en diferentes escalas, combinando irregularidades y estructura. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975. En muchos casos los fractales pueden ser generados por un proceso recursivo o iterativo, capaz de producir estructuras autosimilares independientemente de la escala específica.
La figura puede exhibir recursividad o autosimilitud a cualquier escala. En otras palabras, si enfocamos una porción cualquiera de un objeto fractal (imaginemos que utilizamos un magnificador, o hasta un microscopio, para ello), notaremos que tal sección resulta ser una réplica a menor escala del modelo principal.



Otro aspecto importante sobre los fractales es que su dimensión es fraccionaria. Es decir, que no son unidimensionales, bidimensionales, ni tridimensionales (como la totalidad de los cuerpos conocidos); la dimensión en la formación de los fractales no se ajusta a esos conceptos tradicionales; más aún, su valor raramente es expresado con un número entero. Precisamente, de ahí el origen de la palabra.


2. El Polvo de Cantor:


Se cree que el primer fractal puro de la historia fue creado por el matemático alemán Georg Cantor y se lo conoce hoy como "El Polvo de Cantor". Fue además el descubridor de la "Teoría de los Conjuntos" alrededor de 1872.
A pesar de parecer una figura sencilla a simple vista, el polvo de Cantor reúne todas las características necesarias para ser tratada como una imagen fractal: presenta autosimilitud a cualquier escala y su dimensión es fraccionaria, con un valor aproximado de 0,630929753571457437099527114 (log 2/log 3 en su expresión correcta). Igualmente, podemos basarnos en él para introducir otra característica general de este tipo de objetos: se generan por procesos de iteración)


A continuación se reproduce la imagen original del Polvo de Cantor, llamado así en mención a Georg Cantor quien en 1883 lo utilizó como herramienta de investigación para estudiar una de sus principales obsesiones: el Continuo. A partir de un objeto unidimensional, el matemático le fue quitando los segmentos centrales hasta conseguir una serie infinita de puntos aislados, de ahí el nombre de "polvo".


Polvo de Cantor (1872)

La Iteración es un mecanismo de retroalimentación, que se repite un número n de veces. Por ejemplo, el acto de utilizar un valor inicial en el cálculo de una función, y luego tomar el producto como valor inicial para el próximo cálculo de la misma función. Dicha operación puede repetirse indefinidamente, produciendo una iteración. Cualquier proceso semejante tendrá como resultado, un fractal.







3. Propiedades y Categorías de los Fractales:


Aunque muchas estructuras naturales se manifiestan como fractales, una secuencia de tipo matemática es un objeto que presenta por lo menos una de las siguientes características:

  1. Tiene detalles en escalas arbitrariamente pequeñas.
  2. Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
  3. Tiene auto-similaridad exacta o estadística.
  4. Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch no es entera.
  5. Puede ser definido recursivamente.

El problema con cualquier definición de fractal es que existen objetos que uno quisiera llamarlos así pero sin llegar a alcanzar ninguna de las propiedades anteriores.
Por ejemplo, fractales de la naturaleza como las nubes, las montañas y los vasos sanguíneos en cualquier Ser vivo, tienen limites inferiores y superiores en detalle; no existe un término preciso para "demasiado irregular"; existen diferentes maneras para definir "dimensión" con valores racionales; y no todo fractal es definido recursivamente. A estas formaciones se las llaman "Fractales estocásticos" y están asociados con la "Teoría del Caos".
Los fractales pueden ser divididos en tres amplias categorías, y posiblemente de carácter recursivo (una técnica análoga que los biólogos aplican al concepto de Vida.

Los fractales, como los seres vivos, asimilan la mayor parte de las propiedades de una lista; sin embargo, algunos de elos (tanto fractales como seres vivos) carecen de algunas y, aún así continúan formando parte de la categoría a la que corresponden.

Existen dos tipos de geometría: la Euclidiana y la No Euclidiana (aquí entran los cálculos fractales que no forman parte de ninguna dimensión conocida porque su Producto debe estar entre 1 y 2) Las técnicas de los fractales han sido utilizadas en la comprensión de datos, así como en una variedad de disciplinas científicas; también se aplica al mundo de las artes plásticas y la música. Existen pruebas para la comprensión de imágenes utilizando la geometría fractal junto con el "Teorema del Collage". Al hallar distintos cambios lineales aplicados reiteradas veces, se obtiene la imagen procesada. Lamentablemente aún siguen siendo de tiempo asimétrico.


4. Aplicaciones de los Fractales:

Las formas en la que las partes se asemejan a un todo, están presentes en la materia biológica junto con las simetrías (las formas básicas que sólo necesitan la mitad de información genética) y las espirales (formas de crecimiento y desarrollo de la forma básica hasta expandirse y ocupar mayor espacio)

Las formas más sofisticadas en el desarrollo evolutivo de la materia biológica se presentan en procesos en los cuales se producen saltos cualitativos, es decir, posibilitan catástrofes (hechos extraordinarios) que dan lugar a nuevas realidades más complejas. (Por ejemplo, las hojas que tienen una morfología similar a la pequeña rama de la que forman parte que, a su vez, presentan una forma similar al árbol, y sin embargo, cualitativamente no es lo mismo una hoja (forma biológica simple), que una rama o un árbol (forma biológica compleja). Pero además, las formas fractales se observan en la propia dinámica evolutiva de los sistemas complejos. Esta dinámica parte de una realidad establecida simple culminando en la creación de una nueva realidad más compleja; formando a su vez otros ciclos que se repiten infinitamente. Las evoluciones dinámicas de estos ciclos presentan las similitudes propias de los Sistemas Caóticos (ver "Teoría del Caos")




Mario Markus se atrevió a ir más allá
de lo paradigmático, al fusionar
Ciencia y Arte.
El científico y escritor chileno-alemán Mario Markus los utilizó como punto de unión entre el Arte y la Ciencia. Gracias al advenimiento de la geometría de los fractales, varias ciencias particulares toman hoy sus conceptos y explotarlos en sus respectivas áreas de conocimiento. Está surgiendo de este modo una compleja Matriz Científica (una Ciencia Madre) que se convierte en soporte de todas las ciencias.
Las ciencias sociales, por ejemplo, utilizan conceptos abstractos de los fractales y de la Teoría del Caos, proponiendo nuevas teorías o profundizando las clásicas, pero enriquecidas por el nuevo paradigma.
Marx, realizó intuitivamente el "análisis fractal" de la economía política, estudiando la "mercancía" como pieza raíz (la ecuación fundamental), de la cual obtenía el "árbol" completo de la sociedad capitalista.

La ciencia tiene como uno de sus usos, la predicción. Es decir, predecir determinando leyes que se cumplen; teniéndolo en cuenta, el futuro sería predecible desde la perspectiva de la razón. No estamos hablando de la predicción esotérica sino científica; o sea, el estudio del inicio de un fenómeno observando sus tendencias principales que se cristalizan en su desarrollo.
Cuando Newton hizo pública la teoría de la gravedad, quizá sin saberlo pero sí predestinado a hacerlo, estableció leyes que permitieron resolver y predecir fenómenos que antes eran imposibles de analizar y estudiar; y la biología genética con el estudio del génoma humano, lo que se está intentando lograr es sacar a la superficie las leyes que rigen el desarrollo del ser humano. Ambos casos son como ramas que forman parte de una ley mayor, sin embargo, si queremos vislumbrar e interpretar el ADN de la sociedad, vemos que no es rígido sino elástico, por lo cual se dificulta más llegar a una predicción de tipo científica.


5. El Efecto Mariposa:
("Teoría del Caos")

Marx también estudió otras ecuaciones sumarias que engendraban a la estructura capitalista mundial. Una de ellas era la propiedad privada de los medios de producción. Estudiando esta forma legal de relacionamiento social, halló cómo se desarrollaría este fenómeno histórico y sacó la conclusión de que la propiedad privada tendía al monopolio, a lo que hoy llamaríamos técnicamente fusión de empresas. Pero no pudo determinar "exactamente" (por ese ADN social elástico) el porvenir del Sistema. Por esta causa las ciencias sociales se dividen entre ciencias duras y ciencias blandas. Los métodos que pueden ser útiles para la comprensión de este proceso es la "Teoría del Caos" y los fractales.


Si el aleteo de una mariposa en Pekín puede desencadenar un huracán en Miami, como describe la Teoría del Caos, ¿No puede una crisis económica repercutir en todo el Sistema? Vemos confirmar esta teoría en las crisis que generan ciertas economías particulares (nacionales) sobre el conjunto de la economía mundial.
En esto se relacionan la teoría de los fractales y la teoría del caos, las cuales son parte de un mismo y novedoso paradigma emergente en la ciencia; a ésto hay que relacionarlo con la "Teoría de Sistemas" de  Ludwig Von Bertalanffy y la "Teoría de las Catástrofes", de René Thom.

Ludwig Von Bertalanffy,
descubridor de la Teoría
de los Sistemas.
René Thom descubre en la
década del 80 del siglo XX,
la Teoría de las Catástrofes.



6. Los Fractales en la vida cotidiana:

Todas las emociones y actividades que nos rodean están asociados a los fractales. El universo en sí está creado con una precisión matemática increíble. Desde el complejo y a la vez inconsciente acto de respirar, hasta un beso, caminar por un campo calmo o una ciudad ruidosa; los alimentos que ingerimos, los recuerdos que evocan alegrías o tristezas, las emociones como el amor, el odio, la satisfacción de un abrazo, la pasión y los deseos; las ansiedades y depresiones, el hambre, la enfermedad, la relajación, la naturaleza, la espiritualidad... absolutamente todo es posible demostrarse en productos matemáticos y procesarlos como imágenes fractales. Así, es posible distinguir (o predecir) la Armonía y el Caos entre Microcosmos (Ser humano) y Macrocosmos (el universo ya conocido y aquel comenzando a explorarse durante este nuevo milenio)

Las notas musicales generan imágenes
a través de los cálculos de Mandelbrot.

Un beso procesado en
cálculos fractales




Ver también: 

Teoría de las Catástrofes
Teoría de los Sistemas
Imágenes de Mario Markus
Poemas de Mario Markus
Mario Markus recitando



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